Geometrik Ortalama Hesaplama

Geometrik ortalama, birim değerlerinin (gözlem sonuçlarının) birbirleriyle çarpımlarının, n birim sayısı olmak üzere, n'inci dereceden köküne denir. (Vikipedia)

Geometrik ortamama, n eleman sayısı olmak üzere;

Aynı formülü şu şekilde de ifade edebiliriz.
(x1 . x2 . x3 ... xn)^1/n

Aritmetik ortalama (değerlerin toplanıp eleman sayısına bölünmesi), birbirinden bağımsız olarak oluşan değerlerin ortalamasına almak için uygundur. Ancak değerler birbirine bağlı olarak bir artış veya azalış gösteriyorsa aritmetik ortalama, işe yarar bir değer vermeyecektir. İşte böyle durumlarda aritmetik ortalama yerine geometrik ortalama kullanmak gerekir.

Örneğin 3 yıllık bir yatırımın birinci yıl %10, ikinci yıl %50 ve üçüncü yılda %30 gelir getirdiğini varsayalım. Böyle bir durumda ortalama gelir oranını hesaplamamız gerekirse, aritmetik ortalama bize (0,1 + 0,5 + 0,3) / 3 = 0,3 yani % 30 sonucunu verecektir.

Ancak ilk yatırım tutarının 100 TL olduğunu varsayarsak paramızın toplam tutarı birinci yıl sonunda 100 * 1,1 = 110 TL, ikinci yıl 110 * 1,5 = 165 TL, üçüncü yıl ise 165 * 1,3 = 214,5 TL olacaktır. Görüldüğü gibi artış oranları her yılın artış oranının ilk yatırım tutarı ile değil, yatırımın ilgili yılın başında ulaşmış olduğu toplam değer üzerinden yapılmaktadır. Yani yıl sonlarında oluşan tutarlar bir önceki yıla göre oluşmaktadır. Üstte söylediğimiz gibi değerler birbirine bağlı olarak artış göstermektedir.

Bu durumda geometrik ortalama bize daha doğru bir sonuç verecektir. Örneğe göre her yılın sonunda oluşan ana para + kar miktarı ile geometrik ortalamayı hesaplarsak;

(1,1 + 1,5 + 1,3)^1/3 - 1 = 0,28966159 yani yaklaşık %28,96 sonucunu buluruz. Görüldüğü gibi geometrik ortalama ile bulunan sonuç, aritmetik ortalamadan daha küçüktür ve bu genellikle böyledir.

İkinci bir örnek olarak şunu verebiliriz. Bir sanal mağazadan bir ürün almak istediğinizi düşünelim. Bu ürünü iki ayrı modelinin sayısal değerlerinin (örneğin kameranın yakınlaştırma özelliği) 20 ve 25 olduğunu bu modellere kullanıcıların verdiği ortalama puanların sırasıyla 8 ve 4 olduğunu varsayalım.

Her iki model için puan ve sayısal özellik değerini kullanarak bir değer hesaplamak istediğimizde, birinci model için bu değer 20 + 8 = 28, ikinci model için 25 + 4 = 29 değerlerini buluruz. Ancak bunun hiç bir anlamı olmayacaktır. Bu örnekte eğer geometrik ortalama kullanırsak işe yarar anlamlı bir değer bulabiliriz.

Birinci ürün için geometrik ortalama (20 * 8)^1/2 = 160^1/2 = 12,65911, ikinci ürün için geometrik ortalama (25 * 4)^(1/2) = 100^1/2 = 10 olacaktır. Bu hesaplama 12,65911 > 10 olduğundan özelliği daha düşük olan modelin daha yüksek ortalama puan aldığını gösterecektir.